证明定义在闭区间[-a,a]上的任意函数f(x)总可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
即得证.

设为 f(x),
令，G(x) = [ f(x) + f(-x) ] /2
F(x) = [ f(x) - f(-x) ] /2

显然，G(x) 是偶函数 ， F(x) 是奇函数.

而， f(x) = G(x) + F(x)